Lunes 04/06/2018, 14:30 hs. Aula 27
Título: Proyecciones oblicuas y algunas aplicaciones a problemas de tipo Procusto en espacios de Hilbert
Resumen: En diversos problemas de aproximación que surgen en distintas áreas, (en nuestro caso nos interesa particularmente el área de Procesamiento de señales y Teoría de muestreo), es conveniente considerar un peso dado por un operador (generalmente positivo) [latex]W[/latex], no necesariamente inversible. En este caso, el espacio de Hilbert original puede transformarse en un espacio euclídeo no completo. La noción de compatibilidad resulta útil para tratar estas situaciones: si [latex]H[/latex] es un espacio de Hilbert,[latex]W[/latex] un operador lineal acotado y positivo en [latex]H[/latex] y [latex]S ⊆ H[/latex] es un subespacio cerrado, entonces [latex]W[/latex] y [latex]S[/latex] son compatibles si existe una proyeccion (acotada) [latex]Q[/latex] sobre [latex]S[/latex] tal que [latex]Q[/latex] es [latex]W[/latex]-autoadjunta, i.e. [latex]W Q = Q^{\ast}W[/latex]. En esta charla discutiremos la existencia y propiedades de estas proyecciones y la relación entre el concepto de compatibilidad y el de aditividad de rangos, en particular, la conexión con el llamado orden minus para operadores.
Como aplicación, analizaremos el siguiente problema de tipo Procusto con peso en la clase de Schatten: si [latex]L(H)[/latex] es el álgebra de operadores lineales y acotados en [latex]H[/latex], sea[latex]W ∈ L(H)[/latex] un operador positivo tal que [latex]W^{1/2}[/latex] pertenece a la clase de Schatten [latex]p[/latex] , para algún [latex]1 ≤ p < ∞[/latex]. Dados [latex]A, B, C ∈ L(H), A \text{ y } B[/latex] con rango cerrado, hallar condiciones para la existencia de
[latex]min_{x \in L(H)} || AXB-C||_{p,W}[/latex],
donde [latex]||\, . \, ||_{p,W} = ||W^{1/2} \, . \, ||_{p} [/latex]. Un problema naturalmente relacionado con el anterior consiste en analizar la existencia de
[latex]min_{X∈L(H)}(AXB − C)^{\ast} W(AXB − C)[/latex],
considerando el orden usual de operadores, o bien, el orden minus.