Martes 11/10/2022; 14.30hs. Aula 27
Titulo: Algoritmos greedy: bases almost y semi-greedy – similitudes y diferencias
Resumen:
El problema fundamental de la teoría de la aproximación es ’resolver’ una función objetivo, típicamente complicada, dando en su lugar otras de calculo mas sencillo, llamadas aproximantes. Los primeros métodos desarrollados fueron los de aproximación lineal, las funciones se describen por medio de una serie construida respecto de un sistema dado. Por ejemplo, Fourier (1807) propuso representar funciones 2π-periódicas por series con respecto al sistema trigonométrico eikt : k ∈ Z (atractivo por la ortogonalidad de sus componentes).
Las aproximaciones no-lineales surgen de la necesidad de trabajar con un sistema que resulte mas eficiente (que la aproximación lineal) en la trasmisión de información.
Así nace el concepto de algoritmo greedy (“Thresholding Greedy Algorithm”, TGA).
El TGA da aproximaciones no lineales a vectores de un espacio a través de una serie cuyos coeficientes resultan estar ordenados (en valor absoluto) en forma decreciente.
Este tipo de descripciones permite generar estrategias para lograr buenas o mejores aproximaciones fijando el numero de términos a usar: mejor m-aproximante.
Las bases greedy resultan ser bases (de Schauder) incondicionales. El sistema trigonométrico es una base de Lp([0, 2π]) que solo es incondicional para p = 2.
Luego, si p ̸= 2 no es una base greedy.
A partir de los trabajos de Dilworth, Kalton, Kutzarova y Temlyakov (2003), se tienen variantes m ́as flexibles conocidas como bases almost greedy y semi-greedy.
En esta charla, presentaremos estos conceptos y haremos el recorrido iniciado en 2003 hasta probar que, en el contexto mas general de bases de Markushevich, ambas nociones son equivalentes. También veremos que no siempre coinciden. Estos resultados forman parte de un trabajo conjunto con Miguel Berasategui (IMAS-CONICET).