Lunes 10/06/2019, 14:30 hs. Aula 13
Título:
Grupos de automorfismos de álgebras y el automorfismo modular de álgebras de Calabi-Yau
Resumen:
El problema de la descripción de los grupos de automorfismos de
objectos geométricos o algebraicos es uno de los más viejos de la
matemática. En general, las instancias de este problema que sabemos atacar
con éxito se caracterizan porque los objetos de las que se ocupan poseen
alguna estructura subyacente que debe ser preservada por todos los
automorfismos y es casi siempre el caso que la determinación del grupo de
automorfismos se apoya sobre esa rigidez. Un ejemplo clásico parte de la
observación de que los 20 vértices de un icosaedro pueden distribuirse en 5
grupos de 4, cada uno de los cuales resulta ser el conjunto de vértices de
un tetraedro regular: toda simetría rotacional del icosaedro tiene que
preservar esos 5 tetraedros y se obtiene de esa forma una representación
del grupo de simetrías del icosaedro como permutaciones de un conjunto de 5
letras. Un poco de trabajo adicional lleva a una descripción competa del
grupo de simetrías; ver. [E.S.Coxeter, Regular Polytopes, Sección 3.6].
Hay situaciones importantes en las que encontrar alguna rigidez que sirva
de apoyo para describir los automorfismos es extremadamente difícil. Un
ejemplo famoso de esto es el caso del espacio afín: sorprendentemente, no
conocemos el grupo de automorfismos del espacio afín $A^n$ o,
equivalentemente, de las álgebras de polinomios $C[x_1,…x_n]$, salvo
cuando $n=1$ o $n=2$. El caso en que $n=1$ es completamente elemental, el
caso en el que $n=2$ es el célebre teorema de Jung-van der Kulk — cuando
$n$ es mayor que $2$, por otro lado, ni siquiera conocemos generadores para
el grupo de automorfismos.
El propósito de esta charla será mostrar cómo para ciertas álgebras, las
álgebras de Calabi-Yau torcidas, es posible exhibir de manera natural
ciertos invariantes que deben ser preservados por todos los automorfismos
y que ayudan en la descripcion del grupo de automorfismos de esas álgebras
y en el problema relacionado de la clasificación a menos de isomorfismo.
1 ping
[…] Ver […]